Вписанные и описанные конусы. Сфера, вписанная в цилиндр Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей)

«Вписанный угол» - Дано: __А. Повторение материала. Найди ошибку в формулировках: Зная, как выражается. Величина центрального угла. Величина вписанного угла. Проблема № 1: Сравнить величину внешнего угла и угла при основании. Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? По рисунку б). найти величину внешнего угла. Построение перпендикулярных прямых.

«Измерение углов» - Острый, прямой, тупой, развернутый углы. Измерение углов. Транспортир применяют для построения углов. Можно приложить транспортир по другому. Прямой угол. Тупой угол. Транспортир применяют для измерения углов. Острый угол. Развернутый угол. Какой угол образует часовая и минутная стрелки часов:

«Теорема о вписанном угле» - Как называется угол с вершиной в центре окружности. Понятие вписанного угла. Найти угол между хордами. Ответ. Решение. Теорема о вписанном угле. Треугольник. Закрепление изученного материала. Острый угол. Проверь себя. Найти угол между ними. Правильный ответ. Актуализация знаний учащихся. Радиус окружности.

«Угол и его измерение» - Часовая и минутная стрелки часов образуют в 5 часов тупой угол. Построение углов. На клетчатой бумаге. Развернутый угол. Тупой угол. Острый угол. Для измерения углов применяют транспортир. Прямым углом называют половину развернутого угла. Измерение углов. С помощью транспортира. Углы измеряют в градусах.

«Угол, вписанный в окружность» - Следствия. Укажите изображенные на рисунке вписанные углы. Вписанный угол. Какой угол называется центральным. Цели урока. Угол, вершина которого лежит на окружности. Случаи расположения луча. Найдите. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Какие из углов, изображенных на рисунке, являются вписанными.

\[{\Large{\text{Цилиндр}}}\]

Рассмотрим окружность \(C\) с центром \(O\) радиуса \(R\) на плоскости \(\alpha\) . Через каждую точку окружности \(C\) проведем прямую перпендикулярно плоскости \(\alpha\) . Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью .
Сами прямые называются образующими данной поверхности.

Проведем теперь через некоторую точку некоторой образующей плоскость \(\beta\parallel \alpha\) . Множество точек, по которым образующие пересекут плоскость \(\beta\) , образует окружность \(C"\) , равную окружности \(C\) .
Часть пространства, ограниченная двумя кругами \(K\) и \(K"\) с границами \(C\) и \(C"\) соответственно, а также частью цилиндрической поверхности, заключенной между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) , называется цилиндром .

Круги \(K\) и \(K"\) называются основаниями цилиндра; отрезки образующих, заключенных между плоскостями, – образующими цилиндра; часть цилиндрической поверхности, образованная ими, - боковой поверхностью цилиндра. Отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра равен образующей цилиндра и равен высоте цилиндра (\(l=h\) ).

Теорема

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \

где \(R\) – радиус основания цилиндра, \(h\) – высота (образующая).

Теорема

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей обоих оснований \

Теорема

Объем цилиндра вычисляется по формуле \

\[{\Large{\text{Конус}}}\]

Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и на ней окружность \(C\) с центром \(O\) и радиусом \(R\) . Через точку \(O\) проведем прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\) . Отметим на этой прямой некоторую точку \(P\) . Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через точку \(P\) и каждую точку окружности \(C\) , называется конической поверхностью , а эти прямые – образующими конической поверхности. Часть пространства, ограниченная кругом с границей \(C\) и отрезками образующих, заключенными между точкой \(P\) и точкой на окружности, называется конусом . Отрезки \(PA\) , где \(A\in \text{окр. } C\) , называются образующими конуса ; точка \(P\) – вершина конуса; круг с границей \(C\) – основание конуса; отрезок \(PO\) – высота конуса.

Замечание

Заметим, что у конуса высота и образующая не равны друг другу, как было в случае с цилиндром.

Теорема

Площадь боковой поверхности конуса равна \

где \(R\) – радиус основания конуса, \(l\) – образующая.

Теорема

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей основания \

Теорема

Объем конуса вычисляется по формуле \

Замечание

Заметим, что цилиндр в каком-то смысле является призмой, только в основании находится не многоугольник (как у призмы), а круг.
Формула объема цилиндра такая же, как и формула объема призмы: произведение площади основания на высоту.

Аналогично конус в каком-то смысле является пирамидой. Поэтому формула объема конуса такая же, как и у пирамиды: треть площади основания на высоту.

\[{\Large{\text{Сфера и шар}}}\]

Рассмотрим множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки \(O\) на расстояние \(R\) . Это множество называется сферой с центром в точке \(O\) радиуса \(R\) .
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется диаметром сферы.

Сфера вместе со своей внутренностью называется шаром .

Теорема

Площадь сферы вычисляется по формуле \

Теорема

Объем шара вычисляется по формуле \

Определение

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.
Пусть плоскость пересекла шар по кругу \(K\) с центром в точке \(Q\) . Соединим точки \(O\) (центр шара) и \(Q\) и продлим этот отрезок до пересечения со сферой – получим радиус \(OP\) . Тогда отрезок \(QP\) называется высотой сегмента.

Теорема

Пусть \(R\) – радиус шара, \(h\) – высота сегмента, то объем шарового сегмента равен \

Определение

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими этот шар. Круги, по которым плоскости пересекают шар, называются основаниями шарового слоя, отрезок, соединяющий центры оснований – высотой шарового слоя.
Две оставшиеся части шара являются в этом случае шаровыми сегментами.

Объем шарового слоя равен разности объема шара и объемов шаровых сегментов с высотами \(AP\) и \(BT\) .

Like Share 885 Views

Презентация уроков по геометрии 11 класс. Сфера. Учитель математики МОУ лицея №18 И.В.Дымова. Презентацию выполнила Свинцова Катерина, уч-ца 11-4кл. Оглавление:. 2. оглавление 3. введение 13. определения сферы

Download Presentation

Сфера

E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

No related presentations.

Presentation Transcript

Шар)Существует несколько определений сфере: 1. Замкнутая поверхность. 2. Область действия, пределы распространения чего – либо. (Например, сфера действия тяготения). 3. Обстановка, среда, общественное окружение. (Например, сфера обслуживания)

Данная точка называется центром сферы (точка O), а данное расстояние – радиусом сферы(латинская R). См рис. 1 Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется, диаметром сферы. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Рис. 1

Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг диаметра. См рис. 2 Часть пространства, находящуюся внутри сферы, называют шаром. См рис. 3 Рис. 2 Центр, радиус и диаметр сферы называются так же центром, диаметром и радиусом шара. Рис. 3

Математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Сферу, дает в сечении некоторую окружность; При пересечении двух больших кругов на сфере образуют четыресферических двуугольника. Таких как на рис.4. Рис. 4

Пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемьсферических треугольников.См. рис. 5 Рис. 5

Треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2П. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3П и больше П. Разность s-П=Е, где s-сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком.

Вполне определяется заданием двух чисел – эти числа координаты. Введение координат на сфере позволяет проводить исследования сферических фигур аналогичными методами геометрии. Так, два уравнения

Определяют некоторую линию на сфере. Длинна дуги М1 и М2 этой линии вычисляется по формуле Где t1и t2– значение параметра t, соответствующие концам М1и М2 дуги М1М2. На рис. 6 Рис. 6

Математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Пусть А, В, С – углы a, b, c – противолежащие им стороны сферического треугольника АВС Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами: sin a / sin A=sin b / sin B=sin c /sin C, cos a=cos b cos c + sin b sin c cos A, sin a cos B=cos b sin c – sin b cos c cos A, Sin A cos b=cos B sin C + sin B cos C cos a;

Cизмеряются соответствующими центральными углами, длинны этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R– радиус сферы. Меняя обозначения углов и сторон по правилу круговой перестановки можно написать другие формулы сферической тригонометрии, аналогичные указанным.Эти формулы позволяют по любым трем элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

Выведем уравнение сферы радиуса Rс центром С (x0;y0;z0). (рис. 7) Расстояние от произвольной точки М (x;y;z) до точки с вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС2=R2, т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 (1) Если же точка М (x; y; z) не лежит на данной прямой сферы, то МС2 не равняется R2, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Рис. 7

Системе координатуравнение сферы радиуса R с центром С (x0; y0; z0)имеет вид (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

Плоскости

Расстоянием от ее центра до плоскости а – буквой d. Введем систему координат: плоскость Оxy совпадает с плоскостью а, а центр С сферы лежит на положительной полуоси Оz. В этой системе координат точка С имеет координаты (0; 0; d), поэтому сфера имеет уравнение x2 + y2 + (z – d)2 = R2.(1)А плоскость а совпадает с координатами плоскости Оxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z = 0.(2)(объясните почему)

Точки М (x; y; z) удовлетворяют уравнениям (1) и (2), то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т.е. Является общей для точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений (1) и (2) не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений Z = 0 X2 + y2 + (z – d)2 = R2 Подставив z = 0 во второе уравнение, получим X2 + y2 = R2 – d2 (3) Возможны три случая, рассмотрим их.

Являетсяуравнением окружности радиусаr = кореньквадратный из R2 – d2,с центром в точке Она плоскости Оxy. Координаты любой точкиМ (x; y; 0)этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскостиа, так и уравнению сферы, т.е. все точкиэтой окружности являются общими точками плоскости и сферы. Рис.(8) Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.Итак,если расстояние от центрасферы до плоскости меньшерадиуса сферы, то сечение сферыплоскостью есть окружность. Рис.(8)

Удовлетворяют только числа x = 0, y = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т.е. О – единственная общая точка сферы и плоскости. Рис.(9)Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Рис. (9)

Не удовлетворяют координаты никакой точки.Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскостибольше радиуса сферы, тосфера и плоскость не имеют общих точек. Рис. (10) Рис. (10)

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости

Плоскостьа, касающуюся сферы с центром О в точке А. Доказать: ОА перпендикулярен к а Доказательство: Рассмотрим метод от противного. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости а, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости аменьше радиуса сферы. Поэтому плоскость и сфера пересекаются по окружности. Но это противоречит условию, т.е. сфера и плоскость аимеют только одну общую точку. А значит радиус ОА перпендикулярен плоскостиа. Теорема доказана.

Теорема: Если радиус перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Плоскостьа, касающуюся сферы с центром О в точке А. Доказать: ОА перпендикулярен к а Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равна радиусу сферы, следовательно, сфера и плоскость имеет только одну общую точку. Значит данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана

Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех граней. Говорят, что сфера касается грани многоугольника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.Формула площади сферы радиуса R: S = 4ПR2

Прямой. Плоскость пересекает сферу по окружности L c центром О и радиусом R. Ясно, что все общие точки сферы и прямой а (если они есть) лежат в плоскости а и, следовательно, на окружности L. Возможны 3 случая:

Отрезками касательных, проведенных из точки А. Они обладают следующими свойствами:отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящие через эту точку и центр сферы.

Цилиндрическую поверхность Говорят что сфера вписана в цилиндрическуюповерхность, если она касается всех ее образующих. Докажем, что: Существует сфера, касающаяся плоскости а и цилиндрической поверхности.

Перпендикуляр ОН к плоскости а и обозначим буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S.(рис.11) Если точка А и Н совпадают, то проведем через точку А прямую, параллельную образующим, и обозначим буквой В точку ее пересечения с плоскостью а. при параллельном переносе векторов АВ сфера Sпереходит в сферу S’радиуса r c центром О’, лежащим на прямой ОО1(рис.12), поэтому эта сфера касается цилиндрической поверхности. Расстояние от О’ до плоскости а равно О’В = ОА (объясните почему), т.е. равно радиусу r. Следовательно, сфера S’ касается плоскости а, т.е. является искомой.Утверждение доказано. Рис. 11 Рис. 12

ПОВЕРХНОСТЬ Говорят, что сфера в писана в коническуюповерхность, если она касается всех ее образующих. Пусть РА – одна из образующих конуса. Рассмотрим какую–нибудь плоскость а, пересекающую образующую РА конической поверхности в точке В, лежащей на луче РА. Самостоятельно докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости а и конической поверхности. См рис. 13 Рис. 13

Рассмотрим пирамиду SABCD. Пусть Р - периметр основания ABCD, которое расположено внутри окружности, получающейся в сечении сферы (границы шара) плоскостью ABCD. Радиус этой окружности r<=1. Продолжим отрезки АВ, ВС, CDи DA соответственно за точки B, C, Dи А до пересечения с окружностью в точках В1, С1, D1 и А1 соответственно. По неравенству треугольника

Р<=Р1, где Р1 – периметр четырехугольника А1В1С1D1..Периметр любого выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, меньше длинны этой окружности, поэтому р1<2Пr<=2ПДлинна каждого из ребер SA, SB, SC, SDне превосходит 2. поэтому если L – сумма длин всех сторон пирамиды, тоL=SA + SB + SC + SD + P < 2 + 2 + 2 + 2 + P1 < 8 + 2П< 15

Рассмотрим некоторые соотношения, которые полезны при решении задач на шар, вписанный в конус.

В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.

При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара).

Для данного рисунка образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанного шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:

По теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.

Сфера и шар Сфера есть множество всех точек пространства, которые находятся на данном расстоянии от данной точки. Точка О называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой- либо точкой сферы, называется радиусом сферы(R) Прямая АВ называется осью, а точки А и В пересечения ее со сферой полюсами сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы(KN) Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр(АВ) R N K

Шар Шаром с центром в точке О и радиуса R называется множество всех точек пространства, находящихся от точки О на расстоянии, не превосходящем R. Шаром называется тело, ограниченное сферой. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра(АВ) Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра полюсами шара. Поверхность шара называется сферой. R A B

Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью (ABC), называется шаровым сегментом. Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Точка M называется вершиной шарового сегмента. Шаровой сегмент Формулы: V=1/3П 2 H(3R-H)

Шаровой слой Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями ABC и DEF, пересекающими сферическую поверхность, называется шаровым слоем Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом. Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

Сфера, вписанная в конас Сфера называется вписанной в конас, если она касается всех образующих конаса и его основания. В любой конас можно вписать сферу. Центр сферы лежит на оси конаса и является центром окружности, вписанной в осевое сечение конаса. Формулы радиуса шара, вписанного в конас: R - радиус вписанного шара, r - радиус основания конаса, l - длина образующей конаса, H - высота конаса, A - угол наклона образующей конаса к его основанию. l H l r Формулы: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2

Задача 1 Задача 1. В конас вписан шар радиуса r. Найти объем конаса, если его высота равна h. Решение: Осевое сечение данной комбинации шара и конаса – это равнобедренный треугольник PAB, описанный вокруг окружности с центром О и радиусом R, PC = h – высота конаса, OD PB. Объем конаса Так как поэтому или откуда Следовательно, Ответ:

Задача 2 В шар радиуса R вписан конас, высота которого Н. Найдите угол между образующей конаса и плоскостью основания. Рассмотрим диаметральное сечение шара, как показано на рисунке б). Как известно угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. В нашем случае АВ - прямая, а АР - проекция. ОР=ВР-ОВ=H-R(где H-высота конаса,R-радиус сферы) Из прямоугольного треугольника ОАР определим катет АР по теореме Пифагора: R H Ответ: O

Конас Ко́нас тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конаса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конасом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конаса, а конас называют опирающимся на данное основание). Если основание конаса представляет собой многоугольник, конас становится пирамидой. Геометрическое тело, создаваемое вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов

Элементы и части конаса Вершина точка при неподвижном остром угле вращающегося прямоугольного треугольника, образующего конас. Основание круг, ограничивающий конас, описываемый подвижным катетом образующего треугольника. Высота отрезок, перпендикулярный основанию, проходящий через вершину, неподвижный катет образующего треугольника, а также длина этого отрезка. Образующая отрезок, соединяющий вершину и точку на окружности, ограничивающей основание, гипотенуза описывающего треугольника. Боковая поверхность коническая поверхность, ограничивающая конас, образуемая гипотенузой образующего треугольника. o p БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ОБРАЗУЮЩАЯ ОСНОВАНИЕ КОНУСА РАДИУС ВЕРШИНА ОСЬ

Усеченный конас Усеченным конасом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Круги O и O1 - его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 - ось, отрезок OO1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.

Связанные определения Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конаса. Прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конаса. Круговой конас конас, основание которого является кругом. Конас, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конасом (последние два имеют бесконечный объём). Часть конаса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конасом.

Конас, вписанный в окружность Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника. Шар называется описанным около усеченного конаса (конаса), если окружности оснований (окружность основания и вершина)принадлежат поверхности шара. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника. Конас вписан в сферу (сфера описана около конаса), если его вершина принадлежит сфере, а основание является сечением шара (AOC), ограниченного данной сферой Около конаса всегда можно описать шар. Его центр лежит на оси конаса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конаса. A B AC O Формулы: R 2 =(H-R) 2 +r 2 R-радиус шара r- радиус основания конаса H-высота конаса