Жан лерон д аламбер основные идеи. Основные идеи Дени Дидро и Жан Д'Аламбер

> Жан Лерон Д"Аламбер

Биография Жана Лерон Д"Аламбера (1717-1783 гг.)

Краткая биография:

Имя : Жан Лерон Д"Аламбер

Образование : Парижский университет

Место рождения : Париж

Место смерти : Париж

Жан Лерон Д"Аламбер – французский ученый, математик, астроном: биография с фото, основные идеи, теория возмущений, создание Энциклопедии, гидродинамика.

Жан Лерон Д"Аламбер - математик, философ-просветитель, механик. А также является почетным участников Петербургской Академии Наук (1764 год). Изучал дифференциальные уравнения и сформулировал правила составления диф. уравнений движения материальных систем (иначе называют принцип Д"Аламбера). Доказал теорию возмущения планет. Есть множество его работ, связанных с математическим анализом, дифференциальными уравнениями, рядами и алгеброй.

Формулировка принципа Д"Аламбера: если к практически действующим силам (на различные точки механической системы) и реакциям приложить силы инерции, то тело будет находиться в системе равновесия. Данный принцип достаточно помогает в решении задач динамики, если быть точнее, то к задачам динамики можно применить методы статики.

Жан Лерон появился на свет 16 ноября в 1717 году, умер 29 октября 1783. Как родился, так и умер в Париже.

Мать, Маркиза де Тансен, и отец, Луи-Камю Детуш-Канон, - знатные персоны, однако, Жан Лерон был незаконорожденным. В связи с этим, мать отказалась от ребенка буквально сразу после родов, точнее - спустя несколько часов. Нашли его в деревянной коробке, у входа в церковь Сен-Жан-ле-Рон (Париж). При крещении получил имя, связанное с церковью - Жан Лерон.

В итоге, ребенка усыновила семья стекольщика, где он и воспитывался все остальное время. Его родному отцу была не безразлична судьба его сына, он помогал приемной семье с финансовой стороны, а также оплатил обучение Жана Лерона сначала в частном пансиончике, именуемом Берэ, а уже позже в Янсенистском колледже Катр Насьон. Несмотря на отца, родная мать не интересовалась судьбой своего сына.

Во время обучения, Д’Аламбер показывал остроту своих знаний. Это не осталось незамеченным, ведь успехи в обучении привлекли к нему внимание различных наставников, которые надеялись, что такой развитый человек предпочтет карьеру в церкви. Но тем не менее, Жан Лерон решил пойти по иному пути. Когда он получил в 1735 году степень магистра искусств, "окунулся" в сферу права. Уже в 1738 году заканчивает юридический факультет и решает посещать курсы на медицинском факультете. Однако, медицина его не заинтересовала, и посещение длилось в течение нескольких месяцев, не более. И вот тогда, в 1739 году, Жан Лерон Д’Аламбер находит то, что смогло его заинтересовать - математику.

Заинтересовавшись математикой, Жан Лерон делал различные успехи. В 1741 году он выступил со своими первыми сочинениями на собрании в Королевской Академии Наук в Париже. Тогда он был принят, как ассистент. Тогда началась публикация различных его трактатов. Известный "Трактат о динамике", 1743 год, впервые за всю историю формулирует законы движения, а также группирует и систематизирует классическую механику. Уже в следующем году публикуется "Трактат о равновесии и движении жидкости". Благодаря своим успехам в этой сфере, он в 1746 году становится членом-корреспондентом Академии Наук. Буквально в тот же самый момент, Д"Аламбер посещает разные парижские салоны. В силу своего характера, он был везде желанным посетителем, ведь он умел вести живую, свободную беседу. И все это несмотря на его внешность, голос и прочие показатели.

Последующие 10 лет являлись самыми значимыми. Опубликованы важные работы:

- "Размышления об общей причине ветров" в 1747 году, это привело к перевороту относительно применения дифференциальных уравнений.

- "Исследования о предварении равноденствий" в 1749 году, это помогло решить, буквально, неразрешимую математическую задачу, которая когда-то ввела в тупик И. Ньютона.

- "Опыт новой теории сопротивления жидкостей" в 1752 году, работа стала фрагментом развития гидродинамики.

После, Жан Лерон проводил различного рода исследования, которые послужили обоснованием теории возмущения небесных тел - 1754-1756 года.

Все его работы и исследования привели его к славе, и он стал одним из лучших физиков и математиков тех времен.

Еще в 1745 году, Д"Аламбер был одним из создателей "Энциклопедии". Есть предположения, что в эту "деятельность" его привлек один из издателей - М. А. Давид, и первый редактор "Энциклопедии" - Гуа де Мальвом. Давид прежде публиковал научные работы Жан Лерона, а Гуа де Мальвом был увлечен математикой, а такой энтузиазм пропустить математик не всегда может.

Сначала, главным редактором был де Гуа, и Жан Лерон помогал аббату на этом посту, но в октябре 1747 года издание возглавили Жан Лерон и Дени Дидро. В "Энциклопедии" Д"Аламбер был ответственен за разделы, отвечающие за математику, физику, музыку, астрономию. Его статьи "Коллеж", "Женева" поддерживали положение издания, как орудие для сражения со старыми порядками.

Думая о развитии издания, Д"Аламбер публиковал разные работы, к примеру - "Элементы музыкальной теории и практики, вытекающие из принципов г-н Рамо", опубликованные в 1753 году, развивали теорию гармонии музыки Рамо. Далее вышло множество томов, именуемые "Размышления о литературе, истории и философии". Такими темпами, Жан Лерон стал известным в разных областях, в литературе, музыке, известность росла. При помощи маркизы Дю Деффан уже в 1754 он стал членом Академии Франции.

Работы многих ученых иногда критиковали, и Д"Аламбер не исключение. Частенько его обвиняли в подрыве статьями основ религии. Также, несмотря на множество хороших статей о творчестве Рамо, композитор опубликовал отрицательные, критические замечания к статьям о музыке (в 1755 году), которые были опубликованы в "Энциклопедии".

Не раз он хотел покинуть "Энциклопедию", но все не решался, и смог лишь в 1758-1759 годах. Причина - публикация статьи "Женева", тогда на него был огромный поток критики кальвинистами и католиками. Однако, он вернулся в издание, но как писатель естественнонаучных статей, но это связано лишь с нехваткой средств.

Уже в 60-х годах, его финансовое состояние пошло вверх. Благодаря стипендии Академии, деньгами за авторские статьи, пенсионам Людовика XV и Фридриха II и пожизненной и ежегодной ренте, доставшейся по наследству от отца, средств было вполне достаточно.

Будучи образованным и известным ученым, Д"Аламбер не раз получал вполне выгодные заманчивые предложения, но он отказывался, оставаясь независимым.

1. Предложение от Фридриха II. Знакомство их состоялось в 1755 году,хоть известность он получил ранее. Начиная с 1752 года, Фридрих II предлагал Д"Аламберу стать Президентом Берлинской Академии Наук, но ученый все время давал отрицательный ответ. Некая "дружба" не закончилась на отрицательном ответе, и они переписывались друг с другом.
2. Второе - от Екатерины II. Предложение состояло в том, чтобы Д"Аламбер стал наставником и воспитателем ее сына, Павла. Данное предложение сопровождалось весьма хорошим окладом, однако, ученый и тут оставил отрицательный ответ. В качестве причины он сказал, что желает скромненько и спокойно жить на родине.

Несмотря на отказ, Жан Лерон надеялся, что Европа будет обновляться при помощи просвещенных монархов. Монархи поддерживались интеллектуальной элитой. Тем не менее, Д"Аламбер не доверял аристократии, духовенству, народным массам.

Получая разного рода предложения, причина отказа крылась не только в родине, но и в любви. Покидать Париж он не хотел, так как состоял в некой связи с Жюли де Леспинас. Несмотря на то, что ученый был на 15 лет старше Жюли, отношения складывались весьма хорошо. Но все же, не каждый сможет оставаться верным, Жюли не смогла.

Бременем были не только недуги, но и измена любимой, а также ее смерть (в 1776 году). В болезненном состоянии ученый находился в течении 70-х годов. Последние годы напрямую связаны с Французской Академией, в 1772 году он стал секретарем, несмотря на то, что Людовик XV был против. В своих словах Д"Аламбер всегда показывал, что Академия, как твердыня, которая борется с невежеством и всем подобным.

Член Парижской академии наук (), Французской Академии (), Петербургской () и других академий.

Д’Аламбер был незаконным сыном маркизы де Тансен и, по всей вероятности, австрийского герцога. Вскоре после рождения младенец был подкинут матерью на ступени парижской «», которая располагалась у северной башни Собора Парижской Богоматери . По обычаю, в честь этой церкви ребёнок был назван Жаном Лероном. Вначале ребёнка поместили в Больницу Подкидышей. Затем доверенное лицо герцога артиллерийский офицер Луи-Камю Детуш, получивший деньги для воспитания мальчика, устроил его в семье стекольщика Руссо.

Вернувшись во Францию, Детуш привязался к мальчику, часто навещал его, помогал приёмным родителям и оплатил образование Д’Аламбера. Мать-маркиза никакого интереса к сыну так и не проявила. Позднее, став знаменитым, Д’Аламбер никогда не забывал стекольщика и его жену, помогал им материально и всегда с гордостью называл своими родителями.

Фамилия Д’Аламбер, по одним сведениям, произведена из имени его приёмного отца Аламбера, по другим - придумана самим мальчиком или его опекунами: сначала Жан Лерон был записан в школе как Дарамбер (Daremberg ), потом сменил это имя на D’Alembert .

Рано проявившийся талант позволил мальчику получить хорошее образование - сначала в коллегии Мазарини (получил степень магистра свободных наук), затем в Академии юридических наук, где он получил звание лиценциата прав. Однако профессия адвоката ему была не по душе, и он стал изучать математику.

Уже в возрасте 22 лет Д’Аламбер представил Парижской академии свои сочинения, а в 23 года был избран адъюнктом Академии.

Основные математические исследования Д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений , где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных, описывающего поперечные колебания струны (волнового уравнения). Д’Аламбер представил решение как сумму двух произвольных функций, и по т. н. граничным условиям сумел выразить одну из них через другую. Эти работы Д’Аламбера, а также последующие работы Л. Эйлера и Д. Бернулли составили основу математической физики.

Д’Аламберу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики: трактат «О свободе музыки», в котором подведены итоги т. н. войны буффонов - борьбы вокруг вопросов оперного искусства, и др.

Из философских работ наиболее важное значение имеют вступительная статья к «Энциклопедии», «Очерк происхождения и развития наук» (1751, рус. пер. в книге «Родоначальники позитивизма», 1910), в которой дана классификация наук, и «Элементы философии» (1759).

Д’АЛАМБЕР (D’Alembert) Жан Лерон (1717—83), французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почётный член Петербургской АН (1764). В 1751—57 вместе с Дидро редактировал «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем. Обосновал теорию возмущения планет. Труды по теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре. Сторонник сенсуализма и скептицизма.

Энциклопедический Словарь. 1953—1955

Д"АЛАМБЕР, Жан Лерон (1717—1783), французский математик и . Сформулировал принцип механики, носящий его имя. Вместе с Д. Дидро редактировал французскую «Энциклопедию », впоследствии отошёл от её издания. Признавая объективное существование материальных вещей, Д’аламбер не отвергал существования бога и отрицал возможность познания сущности вещей. Д’аламбер не разделял также положения французского материализма 18 века о человеке как продукте среды. Основное философское сочинение Д’аламбера — «Элементы философии» (1759).

Краткий философский словарь. 1954

ДАЛАМБЕР Жан Лерон (1717—1783) — один из виднейших представителей французского просвещения XVIII в., философ и знаменитый математик. Многие из открытий Даламбера в области математики, физики и астрономии доныне сохранили свою научную ценность. Даламбер — ближайший соратник Дидро (см.), редактировал математический отдел «Энциклопедии» (см. Энциклопедисты ). С 1751 по 1757 г. был соредактором Дидро. Бешеная травля, поднятая против энциклопедистов реакционерами, заставила Даламбера отказаться от дальнейшей работы по редактированию «Энциклопедии». Во вступительной статье к «Энциклопедии» он пытался дать историю возникновения и развития человеческого познания, а также изложить классификацию наук. исходя в основном из принципов английского материалиста XVIII в. Ф. Бэкона (см.).

В области философии Даламбер был сторонником сенсуалистического учения и противником декартовской теории врождённых идей. Он признавал объективное существование вещей, явлений. Однако сенсуализм его не был последовательно материалистическим. По Даламберу, мышление не является свойством материи, а душа имеет независимое от материи существование. Таким образом, Даламбер стоял на дуалистических позициях. Он отрицал возможность познания сущности вещей. В противоположность другим французским просветителям он утверждал, что нравственность не обусловлена общественной средой. Даламбер признавал бога как образующую субстанцию. Талантливая критика непоследовательного сенсуализма Даламбера была дана в работах Дидро, в частности в его сочинении «Сон Даламбера». Основная философская работа Даламбера — «Элементы философии» (1759) — имеется в русском переводе.

Философский словарь. Под редакцией И. Т. Фролова. Издание пятое. Москва. Издательство политической литературы. 1987

ДAЛAMBEP Жан Лерон (1717-83) — один из представителей фр. просвещения 18 в., философ и математик. Ему принадлежит попытка описать историю возникновения и развития человеческого познания, а также изложить классификацию наук, исходя в основном из принципов Ф. Бэкона. В философии Д. был сторонником сенсуализма и противником декартовской теории врожденных идей. Однако сенсуализм его не был последовательно материалистическим. По Д., мышление не является свойством материи, а душа имеет независимое от материи существование. Т. обр., Д. стоял на дуалистических позициях. В противоположность др. фр. просветителям он утверждал, что нравственность не обусловлена общественной средой, Д. признавал бога как образующую субстанцию. Критика непоследовательного сенсуализма Д. была дана в работах Дидро, Осн. соч.— „Элементы философии" (1759).

Д ’АЛАМБ Е́Р (D’Alembert) Жан Ле-рон (16.11.1717, Па-риж - 29.10.1783, там же), франц. ма-те-ма-тик и фи-ло-соф, чл. Па-риж-ской АН (1741), Франц. ака-де-мии (1754, с 1772 её по-сто-ян-ный сек-ре-тарь), иностр. поч. член Пе-терб. АН (1764) и других на-учных уч-реж-дений. Не-за-кон-ный сын ма-дам де Тан-сен и Де-ту-ша, вос-пи-ты-вал-ся в се-мье сте-коль-щи-ка. Брат дра-ма-тур-га Де-ту-ша . Окон-чил Кол-леж Ма-за-ри-ни (1735), где изу-чал пра-во. Са-мо-стоя-тель-но за-ни-мал-ся ма-те-ма-ти-кой. С 1747 ра-бо-тал вме-сте с Д. Дид-ро над соз-да-ни-ем «Эн-цик-ло-пе-дии на-ук, ис-кусств и ре-мё-сел», вёл от-де-лы ма-те-ма-ти-ки и фи-зи-ки. С 1757 ото-шёл от ра-бо-ты в «Эн-цик-ло-пе-дии» и це-ли-ком по-свя-тил се-бя на-уч. дея-тель-но-сти. Впер-вые сфор-му-ли-ро-вал (1743) об-щие пра-ви-ла со-став-ле-ния диф-фе-рен-ци-аль-ных урав-не-ний дви-же-ния ма-те-ри-аль-ных сис-тем, све-дя за-да-чи ди-на-ми-ки к ста-ти-ке (Д’Алам-бе-ра прин-цип ). Этот под-ход был при-ме-нён им (1774) для обос-но-ва-ния гид-ро-ди-на-ми-ки. В ас-тро-но-мии Д. обос-но-вал тео-рию воз-му-ще-ния пла-нет и тео-рию рав-но-ден-ст-вий и ну-та-ции (1747).

Осн. ма-те-ма-тич. тру-ды Д. от-но-сят-ся к тео-рии диф-фе-рен-ци-аль-ных урав-не-ний, где он дал ме-тод ре-ше-ния диф-фе-рен-ци-аль-но-го урав-не-ния 2-го по-ряд-ка с ча-ст-ны-ми про-из-вод-ны-ми, вы-ра-жаю-ще-го по-пе-реч-ные ко-ле-ба-ния стру-ны (вол-но-во-го урав-не-ния ). Эти тру-ды Д., а так-же по-сле-дую-щие ра-бо-ты Л. Эй-ле-ра и Д. Бер-нул-ли со-ста-ви-ли ос-но-ву ма-те-ма-тической фи-зи-ки. При ре-ше-нии од-но-го диф-фе-рен-ци-аль-но-го урав-не-ния с ча-ст-ны-ми про-из-вод-ны-ми, встре-тив-ше-го-ся в гид-ро-ди-на-ми-ке, Д. впер-вые при-ме-нил функ-ции ком-плекс-но-го пе-ре-мен-но-го. У Д. (а так-же и у Эй-ле-ра) встре-ча-ют-ся те урав-не-ния, свя-зы-ваю-щие дей-ст-ви-тель-ную и мни-мую час-ти ана-ли-тич. функ-ции, ко-то-рые впо-след-ст-вии по-лу-чи-ли назв. урав-не-ний Ко-ши - Ри-ма-на. Д. при-над-ле-жат так-же важ-ные ре-зуль-та-ты в тео-рии обык-но-вен-ных диф-фе-рен-ци-аль-ных урав-не-ний с по-сто-ян-ны-ми ко-эф-фи-ци-ен-та-ми и сис-тем та-ких урав-не-ний 1-го и 2-го по-ряд-ков. Ис-чис-ле-ние бес-ко-неч-но ма-лых Д. стре-мил-ся обос-но-вать с по-мо-щью тео-рии пре-де-лов, в тео-рии ря-дов его имя но-сит дос-та-точ-ный при-знак схо-ди-мо-сти ря-да (при-знак Д’Алам-бе-ра). В ал-геб-ре Д. дал пер-вое (не впол-не стро-гое) до-ка-за-тель-ст-во осн. тео-ре-мы о су-ще-ст-во-ва-нии кор-ня у ал-геб-ра-ич. урав-не-ния.

В про-грамм-ной всту-пи-тель-ной ста-тье к «Эн-цик-ло-пе-дии» («Discours pré-li-mi-naire l’Encyclopédie», 1751), со-дер-жа-щей «Очерк про-ис-хо-ж-де-ния и раз-ви-тия на-ук» (рус. пер. в кн. «Ро-до-на-чаль-ни-ки по-зи-ти-виз-ма», 1910, т. 1), Д. дал клас-си-фи-ка-цию на-ук, вос-хо-дя-щую к кон-цеп-ции Ф. Бэ-ко-на . Сен-суа-ли-стич. тео-рия по-зна-ния в ду-хе идей Дж. Лок-ка со-че-та-лась у Д. со скеп-тич. от-но-ше-ни-ем к лю-бым ме-та-фи-зич. ут-вер-жде-ни-ям, вы-хо-дя-щим за пре-де-лы опы-та. Фи-лос. взгля-ды Д. ста-ли пред-ме-том кри-ти-ки Д. Дид-ро в его три-ло-гии «Сон Д’Аламбера», «Раз-го-вор Д’Аламбера и Дид-ро», «Про-дол-же-ние раз-го-во-ра».

«Са-мый му-зы-каль-ный из эн-цик-ло-пе-ди-стов» (оп-ре-де-ле-ние Р. Рол-ла-на), Д. по-свя-тил му-зы-ке часть «Очер-ка про-ис-хо-ж-де-ния и раз-ви-тия на-ук» и ряд ста-тей для «Эн-цик-ло-пе-дии». По-пу-ля-ри-зи-ро-вал уче-ние о гар-мо-нии Ж. Ф. Ра-мо в кн. «Эле-мен-ты тео-ре-ти-че-ской и прак-ти-че-ской му-зы-ки со-глас-но прин-ци-пам г. Ра-мо» (1752). От-стаи-вал ти-пич-ные для эс-те-ти-ки Про-све-ще-ния воз-зре-ния на му-зы-ку; в ча-ст-но-сти, под-чёр-ки-вал её ми-ме-тическую (под-ра-жа-тель-ную) при-ро-ду («Му-зы-ка, ко-то-рая ни-че-го не изо-бра-жа-ет, есть по-про-сту шум»). В трак-та-те «О сво-бо-де му-зы-ки» (1760) под-вёл ито-ги т. н. вой-ны буф-фо-нов - по-ле-ми-ки во-круг му-зы-ки и опер-но-го иск-ва сер. 18 в., уча-ст-ни-ком ко-то-рой он был.

Соч.: Œ uvres. P., 1821-1822. Vol. 1-5; Ди-на-ми-ка. М.; Л., 1950.

Лит.: Доб-ро-воль-ский В . А . Да-лам-бер. М., 1968; Ис-то-рия ма-те-ма-ти-ки. М., 1972. Т. 3; Hankins Th . L . J. d’Alembert: science and the enlightenment. N. Y., 1990.

Ссылка

• Жан Леро́н Д’Аламбе́р (д’Аламбер, Даламбер ; фр. Jean Le Rond D"Alembert, d"Alembert ; 16 ноября 1717 — 29 октября 1783) — французский учёный-энциклопедист... Википедия

Признаки сходимости рядов.
Признак Даламбера. Признаки Коши

Работайте, работайте – а понимание придёт потом
Ж.Л. Даламбер

Всех поздравляю с началом учебного года! Сегодня 1 сентября, и я решил в честь праздника познакомить читателей с тем, что вы давно с нетерпением ждали и жаждали узнать – признаками сходимости числовых положительных рядов . Праздник Первое сентября и мои поздравления всегда актуальны, ничего страшного, если на самом деле за окном лето, вы же сейчас в третий раз пересдаете экзамен учитесь, если зашли на эту страничку!

Для тех, кто только начинает изучать ряды, рекомендую для начала ознакомиться со статьей Числовые ряды для чайников . Собственно, данная телега является продолжением банкета. Итак, сегодня на уроке мы рассмотрим примеры и решения по темам:

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны. Как всегда, постараюсь изложить материал просто, доступно и понятно. Тема не самая сложная, и все задания в известной степени трафаретны.

Признак сходимости Даламбера

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовой предельный признак сравнения . Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:

1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
4) Многочленов и корней, разумеется, может быть и больше.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел . Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:





…


…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера : Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится
б) При ряд расходится
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения .

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к уроку Пределы. Примеры решений . Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

А сейчас долгожданные примеры.

Пример 1

Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.

Используем признак Даламбера:


сходится.

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: . Из условия мы видим, что общий член ряда . Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо подставить : .
При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на . Константу выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-й степени. Что делать, если там многочлен 3-й, 4-й или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.

Пример 2

Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:


Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение в числителе и выражение в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: , чего делать совершенно не хочется. А для тех, кто не знаком с биномом Ньютона , эта задача окажется ещё сложнее. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки , то получим старшую степень . Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и – одного порядка роста . Таким образом, вполне можно обвести отношение простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и , они тоже одного порядка роста , и их отношение стремится к единице.

На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере № 1, но для многочлена 2-й степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-й и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость

Рассмотрим типовые примеры с факториалами:

Пример 4

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем.

Таким образом, исследуемый ряд расходится .

(1) Составляем отношение . Повторяем еще раз. По условию общий член ряда: . Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо нужно подставить , таким образом: .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Отщипываем семерку от степени. Факториалы расписываем подробно . Как это сделать – см. начало урока или статью о числовых последовательностях .
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость

Полное решение и образец оформления в конце урока

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:

Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда , то следующий член ряда:
. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что

Примерный образец решения может выглядеть так:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится . В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн» . Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:


Таким образом, исследуемый ряд расходится .

(1) Оформляем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что
(4) В результате у нас получилась неопределенность . Здесь можно было пойти длинным путем: возвести в куб, возвести в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени. Но в данном случае есть более эффективное решение: можно почленно поделить числитель и знаменатель прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень).
(5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что и делаем вывод о том, что ряд расходится.

А вот более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

И еще пара типовых примеров.

Полное решение и образец оформления в конце урока

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость
Используем радикальный признак Коши:


Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Помещаем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что .
(4) Получена неопределенность вида . Здесь можно прямо в скобке почленно поделить числитель на знаменатель на «эн» в старшей степени. Нечто подобное у нас встречалось при изучении второго замечательного предела . Но здесь ситуация другая. Если бы коэффициенты при старших степенях были одинаковыми , например: , то фокус с почленным делением уже бы не прошел, и надо было бы использовать второй замечательный предел. Но у нас эти коэффициенты разные (5 и 6), поэтому можно (и нужно) делить почленно (кстати, наоборот – второй замечательный предел при разных коэффициентах при старших степенях уже не прокатывает). Если помните, эти тонкости рассматривались в последнем параграфе статьи Методы решения пределов .
(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: . Почему в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому что основание степени удовлетворяет неравенству . Если у кого есть сомнения в справедливости предела , то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
… и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе:

Прямо таки бесконечно убывающая геометрическая прогрессия на пальцах =)

(7) Указываем, что и делаем вывод о том, что ряд сходится.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: . Здесь в показателе степени нет «эн» , только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников . В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.

Интегральный признак Коши

Или просто интегральный признак. Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак не слишком строго, но понятно:

Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует несобственный интеграл , то ряд сходится или расходится вместе с этим интегралом.

И сразу примеры для пояснения:

Пример 11

Исследовать ряд на сходимость

Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда содержатся множители, похожие на некоторую функцию и её производную. Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой каноничный случай.

От артиллерийского офицера Детуша. Вскоре после рождения младенец был подкинут матерью на ступени парижской «Круглой церкви св. Иоанна» (фр. Jean le Rond). В честь этой церкви ребёнок был назван Жаном Лероном. Воспитывался в усыновившей его семье стекольщика Руссо.

Отец в это время был за границей. Вернувшись во Францию, Детуш привязался к сыну, часто навещал его, помогал приёмным родителям и оплатил образование Даламбера, хотя официально признать не решился. Мать-маркиза никакого интереса к сыну так и не проявила. Позднее, став знаменитым, Даламбер никогда не забывал стекольщика и его жену, помогал им материально и всегда с гордостью называл своими родителями.

Фамилия д’Аламбер, по одним сведениям, произведена из имени его приёмного отца Аламбера, по другим - придумана самим мальчиком или его опекунами: сначала Жан Лерон был записан в школе как Дарамбер (Daremberg), потом сменил это имя на D’Alembert.

1726: Детуш, уже ставший генералом, неожиданно умирает. По завещанию Даламбер получает пособие в 1200 ливров в год и препоручается вниманию родственников. Мальчик воспитывается наряду с двоюродными братьями и сёстрами, но живёт по-прежнему в семье стекольщика. Он жил в доме приёмных родителей до 1765 года, то есть до 48-летнего возраста.

Рано проявившийся талант позволил мальчику получить хорошее образование - сначала в коллегии Мазарини (получил степень магистра свободных наук), затем в Академии юридических наук, где он получил звание лиценциата прав. Однако профессия адвоката ему была не по душе, и он стал изучать математику.

Уже в возрасте 22 лет Даламбер представил Парижской академии свои сочинения, а в 23 года был избран адъюнктом Академии.

1743: вышел «Трактат о динамике», где сформулирован фундаментальный «Принцип Д’Аламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике. Здесь он впервые сформулировал общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем.

Позже этот принцип был применен им в трактате «Рассуждения об общей причине ветров» (1774) для обоснования гидродинамики, где он доказал существование наряду с океанскими также воздушных приливов.

1748: блестящее исследование задачи о колебаниях струны.

С 1751 года Д’Аламбер работал вместе с Дидро над созданием знаменитой «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел». Статьи 17-томной «Энциклопедии», относящиеся к математике и физике, написаны Даламбером. В 1757 году, не выдержав преследований реакции, которым подвергалась его деятельность в «Энциклопедии», он отошёл от её издания и целиком посвятил себя научной работе (хотя статьи для «Энциклопедии» продолжал писать). «Энциклопедия» сыграла большую роль в распространении идей Просвещения и идеологической подготовке Французской революции.

1754: Даламбер становится членом Французской Академии.

1764: в статье «Размерность» (для Энциклопедии) впервые высказана мысль о возможности рассматривать время как четвёртое измерение.

Даламбер вёл активную переписку с российской императрицей Екатериной II . В середине 1760-х годов Даламбер был приглашён ею в Россию, в качестве воспитателя наследника престола, однако приглашения не принял.

1772: Даламбер избран непременным секретарём Французской Академии.

1783: после долгой болезни Даламбер умер. Церковь отказала «отъявленному атеисту» в месте на кладбище, и его похоронили в общей могиле, ничем не обозначенной.

В честь Даламбера названы кратер на обратной стороне Луны и горный хребет на видимой её стороне.

Научные достижения

Математика

В первых томах знаменитой «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные статьи: «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.

Исчисление бесконечно малых Д’Аламбер стремился обосновать с помощью теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию «метафизики анализа». Он назвал одну величину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличается от нее менее чем на любую заданную величину. «Дифференцирование уравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношения конечных разностей двух переменных, входящих в уравнение» - эта фраза могла бы стоять и в современном учебнике. Он исключил из анализа понятие актуальной бесконечно малой, допуская его лишь для краткости речи.